最短路径三剑客: Floyd, Dijkstra, Bellman

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weighted graph的最短路径问题有三个非常有名的算法, 分别以三个大牛的名字命名, 今天用尽量简洁的篇幅一一介绍.

简单起见(这回只写伪代码好了), 对于图的定义如下:

  • node index = {1,2,...,n}
  • e[u,v] = distance of edge(u,v); if (u,v) is not an edge, e[u,v]=INF
  • 令N=点的数量, M=边的数量

任意两点最短路径: Floyd-Warshall

Floyd算法解决的问题是: 对于任意两个节点s(source)和t(target), 求s到达t的最短路径.

Floyd算法的思想是动态规划:

  • 定义d(i,j,k)为点i到点j之间, 只允许借道节点1...k的最短路径
  • 初始化: d(i,j,0)=e[i,j](即i到j之间不经由其他任何中转节点的最短路径)
  • 更新dij的公式就是: d(i,j,k)=min( d(i,j,k-1), d(i,k-1,k-1)+e[k,j])
  • 更新n次

每次更新dij的意思就是: 现在从i到j可以经过节点k了, 那么看一下ij之间从k这个点经过的话(i → k → j 这条路)能不能缩短dij.

i到j最短路径最终就是: d(i,j,n) 即i到j的路程可以经过1~n中的任何中转节点.

伪代码特别短(其实真代码也一样短....):

for all [i,j]: // initialize   
    d[i,j] = e[i,j]    
for k = 1 ~ n: // relax for k times:    
    for all [i,j]:   
        d[i,j] = min(d[i,j], d[i,k] + e[k,j])

核心代码只有最后三行... 运行结束后d[i,j]就保存着任意i和j之间的最短路径长度.
程序主循环n次, 每次要处理遍历所有的ij组合, 所以复杂度是O(N^3).

单源最短路径: Dijkstra

Dijkstra算法解决的问题是: 没有负权边的情况下, 从源节点s到其他任意节点t的路径长度.

  • 维护一个dist数组, dist[i]就表示(目前为止)s到i的最短距离.
  • 对于每个元素, 标记是否其dist是否已经确定不再更改(或者说维护两个集合: 一个集合的dist确定, 另一个未确定).

Dijkstra算法是一种贪心策略: 每次在未确定最短路径的节点里挑选距离s最近的那个点, 把这个点标记为已经确定dist, 然后对从这个点出发的边进行松弛.

为了标记每个点, 这里用一个bool数组表示: determined[i]为true表示i的dist已经是最短路程, 为false表示还不确定.

算法如下:

  • 初始化dist[i] = e[s,i], determined[i]全为false
  • 在dist未确定的元素里(determined[i]==false)寻找一个dist最小的节点u:
    • 标记u的dist已经确定determined[i]=true
    • 用u的所有出边进行松弛: s到i如果经过(u,i)这条边会不会变近? dist[i] = min(dist[i], dist[u]+e[u,i])
    • 重复循环直到所有的点都确定dist(or 重复N遍即可: 每次只会确定一个新的节点的距离)

伪代码:

for i in 1~n:   
    dist[i] = e[s,i]   
    determined[i] = false   
loop N times:    
    u = argmin(dist[i]) among all i that determined[i]==false   
    determined[u] = true // determine one node at each loop     
    for v such that e[u,v]<INF:   
        dist[v] = min( dist[v], dist[u]+e[u,v] )

以上代码的复杂度为O(N^2), 不过如果用堆来优化寻找最近的u的距离, 复杂度可以变得更低.

有负权边的单源最短路径: Bellman-Ford

Dijkstra算法的缺点在于不能处理边长为负数的情况, 而这就是Bellman-Ford算法解决的.

Bellman算法也是一种动态规划(动态规划这个东西就是Bellman提出来的):

  • 定义d(i,k)为源点s到i最多经过k条边的最短距离
  • 初始化: d(i,1)=e[s,i]
  • 每次更新di的公式: for all (u,v): d(v,k)=min( d(v,k-1), d(u,k-1)+e[u,v] )
  • 更新n-1次

为什么是更新n-1次? 因为s到i的最短路径至多只有n-1条边(即s到i的路径经过了所有n个点).
注意每次更新, 需要把所有的边试一遍: 看看用每条边(u,v)能不能松弛dv.

伪代码:

for i in 1~n:   
    dist[i] = e[s,i]   
loop n-1 times:    
    for all (u,v) such that e[u,v]<INF:   
        dist[v] = min( dist[v], dist[u]+e[u,v] )

核心代码也是最后三行... 太tm精妙了!!

外层循环N-1次, 内层循环M次, 所以代码的复杂度是O(NM).

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以下问题有空再写...

  • negative cycle
  • A*
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